NÚMEROS COMPLEJOS
La existencia de los conjuntos de Mandelbrot y Julia depende de los números complejos. Pero si hablamos de los últimos, tenemos que, necesariamente, introducir los números imaginarios primero. Dos matemáticos italianos, Girolamo Cardano y Raffaele Bombelli, propusieron ambos tipos de números en el siglo XVI.Como sabemos, los números negativos no tienen raíces cuadradas que puedan expresarse en números reales. No obstante, los matemáticos le han dado un valor imaginario i definido como la raíz cuadrada de -1 (de ahí su nombre).
ó i^2 = -1Pero no todos los fractales se producen mediante la iteración de expresiones matemáticas con números complejos. La iteración de figuras geométricas elementales pueden igualmente producirlos. La alfombra de Sierpinski se produce partiendo de un cuadrado.
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un cuadrado, o alfombra, de Sierpinski.
ECUACIONES, FUNCIONES O FÓRMULAS?
Una ecuación se define como un enunciado que demuestra que dos expresiones matemáticas son equivalentes, tal como x + 1 = 3 - x^2.Una función puede definirse como una asociación entre dos o más variables, en la cual, para cada valor de las variables independientes, o argumentos, corresponde exactamente un valor de la variable dependiente en un conjunto espcífico (conocido como el dominio de la función). Por ejemplo: en una función como
Una fórmula, por otra parte (y en nuestro caso), expresa un hecho o una realidad matemática. Como ejemplo, la fórmula para calcular el área de un triángulo es a = bh/2, donde b es la medida de la base, h es la medida de la altura, y a el área calculada para el triángulo.
Cuando nos referimos al conjunto de Mandelbrot, f(z) = z^2 + c, sería más apropiado hablar de función. Mientras que esta expresión es una ecuación, pues estamos estableciendo que un lado es equivalente al otro, es una función puesto que estamos limitando los posibles valoreas a un dominio determinado.
LOS FRACTALES Y EL CAOS
Por varias razones, los fractales han sido asociados a la teoría del caos. Mientras que algunas de estas figuras sí están estrechamente relacionadas, hay otros tipos de fractales que en nada tienen que ver con el caos. Como hemos visto, los primeros ejemplos de construcciones fractales (matemáticas) datan de finales del siglo XIX, mucho antes de que la teoría del caos fuese propuesta en la década de 1960. Aún así, gracias a los avances tecnológicos, esta teoría ha generado varios tipos adicionales de fractales. El Dr. Edward Lorentz, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT, por sus siglas en inglés) es uno de los pioneros en este campo, a pesar de que Jules Henri Pointcaré ya había formulado el "Efecto Mariposa" tan temprano como los 1830's.
Figura 22: atractor de Lorenz.
Estrictamente hablando, la teoría del caos es el estudio de los sistemas no lineales, para los cuales el índice de cambio no es constante. Se caracterizan por su carácter impredecible. La climatología y el crecimiento poblacional son buenos ejemplos de sistemas no lineales; ambos, también, son fractales.
En sistemas no lineales, cada estado del sistema está determinado por sus estados anteriores (iteración). Un minúsculo cambio en los valores iniciales puede tener dramáticos efectos en el resultado del sistema.
APLICACIONES DE LA TEORÍA FRACTAL
Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de la geometría fractal, los científicos han podido comprender cómo sistemas que anteriormente se creían totalmente caóticos, ahora exhiben patrones predecibles. Una de las contribuciones más significativas de la geometría fractal ha sido su capacidad para modelar fenómenos naturales tales como las plantas, las nubes, las formaciones geológicas y los fenómenos atmosféricos. Esta teoría también ha contribuido a otros campos tan diversos como la lingüística, la psicología, las técnicas de compresión de imágenes digitales, la superconductividad y otras aplicaciones electrónicas.
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